Question

【題目】已知數列的前項和為，滿足，．數列滿足，，且．

（1）求數列和的通項公式；

（2）若，數列的前項和為，對任意的，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，，使，，（）成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）不存在

【解析】

試題（1）先根據和項與通項關系得項之間遞推關系式，再根據等比數列定義以及通項公式求數列通項公式；對條件變形得，再根據等差數列定義以及通項公式求數列通項公式；（2）先根據錯位相減法得，再參變分離得恒成立，利用數列單調性可得最小值，即得實數的取值范圍.（3）先根據等差數列性質得 ，再利用奇偶分析法討論解的情況

試題解析：（1）當時，，所以．

當時，，，

兩式相減得，又，所以，

從而數列為首項，公比的等比數列，

從而數列的通項公式為．

由兩邊同除以，得，

從而數列為首項，公差的等差數列，所以，

從而數列的通項公式為．

（2）由（1）得，

于是，

所以，

兩式相減得，

所以，

由（1）得，

因為對 ，都有，即恒成立，

所以恒成立，

記，

所以，

因為 ，從而數列為遞增數列，

所以當時，取最小值，于是．

（3）假設存在正整數，使()成等差數列，則，

即 ，

若為偶數，則為奇數，而為偶數，上式不成立.

若為奇數，設，則，

于是，即，

當時，，此時與矛盾；

當時，上式左邊為奇數，右邊為偶數，顯然不成立.

綜上所述，滿足條件的不存在．