Question

已知不等式sin²x+sinx+1＜a 有解則a的范圍為

a＞

3

4

．

Answer 1

分析：由題意可得 (sinx+

1

2

)2＜a-

3

4

 有解，再由 (sinx+

1

2

)2≥0，得到a-

3

4

＞0，從而求出a的范圍．

解答：解：不等式sin²x+sinx+1＜a 有解，即 (sinx+

1

2

)2＜a-

3

4

 有解．
由于當sinx=-

1

2

時，(sinx+

1

2

)2有最小值等于0； 當sinx=1時，(sinx+

1

2

)2有最大值等于

9

4

，
∴0≤(sinx+

1

2

)2≤

9

4

．
要使 (sinx+

1

2

)2＜a-

3

4

 有解，a-

3

4

 應大于(sinx+

1

2

)2的最小值，
故 a-

3

4

＞0，解得 a＞

3

4

．
故答案為：a＞

3

4

．

點評：本題主要考查正弦函數的定義域和值域，一元二次不等式的應用，由 (sinx+

1

2

)2≥0，得到a-

3

4

＞0，是解題
的關鍵．