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18.設數列{an}的前n項和為Sn,已知${S_n}=2{a_n}-1({n∈{N^*}})$
(I)求數列{an}的通項公式;
( II)若bn=log2an+1,求數列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$的前n項和Tn

分析 (I)由${S_n}=2{a_n}-1({n∈{N^*}})$,可得n=1時,a1=2a1-1,解得a1.n≥2時,an=Sn-Sn-1,可得an=2an-1.再利用等比數列的通項公式即可得出.
( II)bn=log2an+1=n.可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 解:(I)∵${S_n}=2{a_n}-1({n∈{N^*}})$,∴n=1時,a1=2a1-1,解得a1=1.
n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),可得an=2an-1
∴數列{an}是以首項為1,公比為2的等比數列,
∴an=2n-1
( II)bn=log2an+1=n.
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
∴Tn=$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$.

點評 本題考查了“裂項求和”方法、等比數列的通項公式、數列遞推關系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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