Question

18．設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知${S_n}=2{a_n}-1（{n∈{N^*}}）$
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（ II）若b_n=log₂a_n+1，求數列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由${S_n}=2{a_n}-1（{n∈{N^*}}）$，可得n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1．再利用等比數列的通項公式即可得出．
（ II）b_n=log₂a_n+1=n．可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵${S_n}=2{a_n}-1（{n∈{N^*}}）$，∴n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），可得a_n=2a_n-1．
∴數列{a_n}是以首項為1，公比為2的等比數列，
∴a_n=2^n-1．
（ II）b_n=log₂a_n+1=n．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、等比數列的通項公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．