Question

一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形冰淇淋，其三視圖如圖所示，

（1）求杯子的側面積；
（2）求冰淇淋的體積；
（3）如果冰淇淋全部融化了，會溢出杯子嗎？寫出推導過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）該幾何體的表面的上部分是一個半徑為4cm的半球，下部分是底面半徑為4cm，高為12cm的圓錐．利用勾股定理計算出圓錐的母線長，可得圓錐的側面積
（2）由（1）中半球的半徑，代入球的體積公式，可求出冰淇淋的體積；
（3）計算出下部分圓錐的體積，結合（2）中冰淇淋的體積，比較半球的體積與圓錐的體積，從而得到冰淇淋融化了會不會溢出杯子．
解答：解：（1）根據題意，該幾何體的表面的上部分是一個半徑為4cm的半球，下部分是底面半徑為4cm，高為12cm的圓錐
由勾股定理，得圓錐的母線長為l==4cm
∴S_圓錐側=πrl=4•4π=16πcm²
（2）∵上部分是一個半徑為4cm的半球，
V_半球=×π×4³=π，
即冰淇淋的體積為πcm³
（3）∵下部分是底面半徑為4cm，高為12cm的圓錐
∴V_圓錐=×π×4²×12=64π
∴V_半球＜V_圓錐，可得冰淇淋不會溢出杯子
點評：本題給出一個組合式的幾何體，求它的表面積和體積，著重考查了球和圓錐的表面積公式和體積公式，屬于基礎題．