Question

（2009•成都二模）在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的斜邊BC恰在x軸上，點B（-2，0），C（2，0）且AD為BC邊上的高．
（I）求AD中點G的軌跡方程；
（Ⅱ）若一直線與（I）中G的軌跡交于兩不同點M、N，且線段MN恰以點（-1，

1

4

）為中點，求直線MN的方程；
（Ⅲ）若過點（1，0）的直線l與（I）中G的軌跡交于兩不同點P、Q試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值λ？若存在，求出點E的坐標及實數λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設G（x，y），則由

AB

•

AC

=0，代入可求中點G的軌跡方程
（Ⅱ由點（-1，

1

4

）在橢圓內部，可得直線MN與橢圓必有公共點，由

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

，兩式相減，結合方程的根與系數關系可求直線MN的斜率k，從而可求直線直線MN的方程
（Ⅲ）假定存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值λ，由軌跡方程中的y≠0，故直線l不可能為x軸，可設直線l的方程為x=ky+1且設點P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），聯立x=ky+1代入

x2

4

+y2=1（y≠0），由方程的根與系數關系可求y3+y4=

-2k

4+k2

，y3y4=

-3

4+k2

，則

EP

•

EQ

=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4，代入可求，若存在定點E（m，0）使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

4+k2

=λ為定值（λ與k值無關），則必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

，從而 可求

解答：解：（I）設G（x，y），則A（x，2y）而B（-2，0），C（2，0）
∴

AB

=(-2-x，-2y)，

AC

=(2-x，-2y)．
由

AB

•

AC

=0
∴

x2

4

+y2=1（y≠0），即為中點G的軌跡方程
（Ⅱ∵點（-1，

1

4

）在橢圓內部，
∴直線MN與橢圓必有公共點
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由已知x₁≠x₂，則有

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

兩式相減，得

(x1+x2)(x1-x2)

4

=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
而x1+x2=-2，y1+y2=

1

2

∴直線MN的斜率k=1
∴直線MN的方程為4x-4y+5=0
（Ⅲ）假定存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值λ
由于軌跡方程中的y≠0，故直線l不可能為x軸
于是可設直線l的方程為x=ky+1且設點P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
將x=ky+1代入

x2

4

+y2=1（y≠0）得
（k²+4）y²+2ky-3=0．
顯然△=4k²+12（k²+8）＞0
∴y3+y4=

-2k

4+k2

，y3y4=

-3

4+k2

∵

EP

=(x3-m，y3)，

EQ

=(x4-m，y4)
則

EP

•

EQ

=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4
=（1+k²）y₃y₄+k(1-m)(y3+y4)+m2 -2m+1
=

(m2-4)+4m2-8m+1

4+k2

若存在定點E（m，0）使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

4+k2

=λ為定值（λ與k值無關），則必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

∴

m= 17 8 λ= 33 64

∴在x軸上存在定點E（

17

8

，0），

PE

•

QE

恒為定值

33

64

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示的應用，利用點差法求解直線方程，直線與拋物線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于綜合應用．