Question

二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區間[2a，a+1]上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3，可求得其對稱軸為x=1，可設f（x）=a（x-1）²+1　（a＞0），由f（0）=3，可求得a，從而可得f（x）的解析式；
（2）由f（x）的對稱軸x=1穿過區間（2a，a+1）可列關系式求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）為二次函數且f（0）=f（2），
∴對稱軸為x=1．
又∵f（x）最小值為1，
∴可設f（x）=a（x-1）²+1，（a＞0）
∵f（0）=3，
∴a=2，
∴f（x）=2（x-1）²+1，即f（x）=2x²-4x+3．
（2）由條件知f（x）的對稱軸x=1穿過區間（2a，a+1）
∴2a＜1＜a+1，
∴0＜a＜

1

2

．

點評：本題考查二次函數的性質，著重考查二次函數的圖象與性質，考查待定系數法，屬于中檔題．