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已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區間[2a，a+1]上不單調，求實數a的取值范圍；
（3）在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．

分析：（1）用待定系數法先設函數f（x）的解析式，再由已知條件求解未知量即可
（2）只需保證對稱軸落在區間內部即可
（3）轉化為函數求最值問題，即可得到個關于變量m的不等式，解不等式即可

解答：解：（1）由已知∵f（x）是二次函數，且f（0）=f（2）
∴對稱軸為x=1
又最小值為1
設f（x）=a（x-1）²+1
又f（0）=3
∴a=2
∴f（x）=2（x-1）²+1=2x²-4x+3
（2）要使f（x）在區間[2a，a+1]上不單調，則2a＜1＜a+1
∴0＜a＜

（3）由已知2x²-4x+3＞2x+2m+1在[-1，1]上恒成立
化簡得m＜x²-3x+1
設g（x）=x²-3x+1
則g（x）在區間[-1，1]上單調遞減
∴g（x）在區間[-1，1]上的最小值為g（1）=-1
∴m＜-1

點評：本題考查待定系數法和二次函數的單調性和最值，須注意恒成立問題的轉化．屬簡單題

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x²+2（m-2）x+m-m²．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

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（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x²+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=

f(x)

x-1

．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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