Question

已知定義域R上的二次函數(shù)f（x）的最小值為0，且f（1+x）=f（1-x），直線y=4（x-1）被f（x）的圖象截得的弦長為4

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，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由題意可設(shè)f（x）=a（x-1）²（a＞0），聯(lián)立直線與拋物線方程并消掉y可得x的二次方程，利用韋達(dá)定理、弦長公式可得關(guān)于a的方程，解出a即可得到f（x）．

解答：解：由f（1+x）=f（1-x），得f（x）的圖象的對稱軸為x=1，再由f（x）的最小值為0，設(shè)f（x）=a（x-1）²（a＞0），
由

y=4(x-1) y=a(x-1)2

得，ax²-（2a+4）x+a+4=0，
設(shè)所截弦的端點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

2a+4

a

，x1x2=

a+4

a

，
∴弦長4

17

=

1+42

|x1-x2|=

17

( 2a+4 a )2-4• a+4 a

，解得a=1，
∴f（x）=（x-1）²．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理、弦長公式是解決該類題目常用知識，要熟練掌握，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件設(shè)出函數(shù)的頂點式解析式．