Question

已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）記函數f（x）在區間[2a，a+1]上的最大值為g（a），當a≥-4時，求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設知可設f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由于a+1＞2a，可得a＜1，因為函數圖象的開口向上，對稱軸為直線x=1，分1-2a＞a+1-1和1-2a≤a+1-1兩種情況，利用二次函數的性質，求得的最大值g（a）的解析式，從而求得g（a）的最大值．

解答：解：（1）由題設知，圖象的對稱軸為直線x=1，可設f（x）=a（x-1）²+1，…（3分）
由f（0）=3，得a=2，故f（x）=2x²-4x+3．…（5分）
（2）首先，應有a+1＞2a，∴a＜1，因為圖象的開口向上，對稱軸為直線x=1，
當1-2a＞a+1-1，即a＜

1

3

時，所求的最大值g（a）=f（2a）=8a²-8a+3．…（7分）
當1-2a≤a+1-1，即

1

3

≤a＜1時，所求的最大值g（a）=f（a+1）=2a²+1．…（9分）
∴g（a）=

2a2+1 ，  1 3 ≤a＜1 8a2-8a+3 ， a＜ 1 3

，…（11分）
函數g（a）在[

1

3

，1)上單調遞增，在(-∞，

1

3

)上單調遞減．…（13分）
∴而f（1）=3，f（-4）=163，當a≥-4時，g（a）的最大值為163． …（16分）

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．