如圖，已知
是長軸為
的橢圓上三點，點
是長軸的一個頂點，
過橢圓中心
，且
.
(1)建立適當的坐標系，求橢圓方程；
(2)如果橢圓上兩點
使直線
與
軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實數
使
?請給出證明．
(1)
(2) 存在實數使
證明：設直線
的方程為
，所以直線
的方程為
由橢圓方程與直線的方程聯立，消去
得
，所以
同理
又
，所以
，所以
，即存在實數使成立
解析試題分析：(1)以為原點，
所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標系，則
，橢圓方程可設為
而為橢圓中心，由對稱性知
又
，所以
又
，所以
所以
為等腰直角三角形，所以點
的坐標為
將 代入橢圓方程得
則橢圓方程為
(2)由直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設直線的斜率為
，
則直線的斜率為
，直線的方程為，
直線的方程為
由橢圓方程與直線的方程聯立，消去得
①
因為
在橢圓上，所以
是方程①的一個根，于是 同理
這樣，
又，所以
即
.所以，即存在實數使.
考點：求橢圓方程及直線與橢圓相交韋達定理的應用
點評：本題對于高二文科學生有一定的難度，可區分出優秀學生與一般學生
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分16分）
已知橢圓
的離心率為
，一條準線
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設O為坐標原點，
是
上的點，
為橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓
交于
兩點．
①若
，求圓的方程；
②若是l上的動點，求證：點
在定圓上，并求該定圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
過拋物線焦點垂直于對稱軸的弦叫做拋物線的通徑。如圖，已知拋物線
，過其焦點F的直線交拋物線于
、
兩點。過
、
作準線的垂線，垂足分別為
、
.
（1）求出拋物線的通徑，證明
和
都是定值，并求出這個定值；
（2）證明： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
動圓
經過定點
，且與直線
相切。
（1）求圓心的軌跡
方程；
（2）直線
過定點
與曲線交于
、
兩點：
①若
，求直線的方程；
②若點
始終在以
為直徑的圓內，求
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分12分）給定橢圓
：
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到
的距離為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準圓”方程.
（Ⅱ）點
是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線
使得與橢圓都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）已知橢圓M的中心為坐標原點 ，且焦點在x軸上，若M的一個頂點恰好是拋物線
的焦點，M的離心率
，過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線
，交M于A，B兩點。
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設點N（t，0）是一個動點，且
，求實數t的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（滿分10分）（Ⅰ） 設橢圓方程
的左、右頂點分別為
，點M是橢圓上異于的任意一點，設直線
的斜率分別為
，求證
為定值并求出此定值；
（Ⅱ）設橢圓方程
的左、右頂點分別為，點M是橢圓上異于的任意一點，設直線的斜率分別為，利用（Ⅰ）的結論直接寫出的值。（不必寫出推理過程）
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:
的一個頂點為
，離心率為
.直線
與橢圓
時，求
的值.