Question

動圓經(jīng)過定點(diǎn)，且與直線相切。
（1）求圓心的軌跡方程；
（2）直線過定點(diǎn)與曲線交于、兩點(diǎn)：
①若，求直線的方程；
②若點(diǎn)始終在以為直徑的圓內(nèi)，求的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2），。

解析試題分析：（1）由題意：到點(diǎn)距離與到直線距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為
（2）①設(shè)直線：，代入拋物線方程得：
設(shè) 則　　　　　　　　　
　由得，
代入解得： 即所求直線方程為。　　　　　　　　　　　　　　　　　　
②，由題意：　　　　　　　　　　
即，，化簡得：
對于任意的恒成立。　　
滿足，則且，解得。綜上知，的取值范圍為。
考點(diǎn)：軌跡方程的求法；點(diǎn)到直線的距離公式；拋物線的簡單性質(zhì)；直線與拋物線的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評：（1）求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線的定義條件。（2）直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．