Question

【題目】（Ⅰ）設x≥1，y≥1，證明x+yxy；

（Ⅱ）1≤a≤b≤c，證明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據題意，首先對原不等式進行變形有x+yxyxy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；再用做差法，讓右式﹣左式，通過變形、整理化簡可得右式﹣左式＝（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1），又由題意中x≥1，y≥1，判斷可得右式﹣左式≥0，從而不等式得到證明．

（Ⅱ）首先換元，設logab＝x，logbc＝y，由換底公式可得：logba，logcb，logac，logac＝xy，將其代入要求證明的不等式可得：x+yxy；又有logab＝x≥1，logbc＝y≥1，借助（Ⅰ）的結論，可得證明．

證明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；則x+yxyxy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；

用作差法，右式﹣左式＝（x+y+（xy）2）﹣（xy（x+y）+1）

＝（（xy）2﹣1）﹣（xy（x+y）﹣（x+y））

＝（xy+1）（xy﹣1）﹣（x+y）（xy﹣1）

＝（xy﹣1）（xy﹣x﹣y+1）

＝（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1）；

又由x≥1，y≥1，則xy≥1；即右式﹣左式≥0，從而不等式得到證明．

（Ⅱ）設logab＝x，logbc＝y，

由換底公式可得：logba，logcb，logca，logac＝xy，

于是要證明的不等式可轉化為x+yxy；

其中logab＝x≥1，logbc＝y≥1，

由（Ⅰ）的結論可得，要證明的不等式成立．