Question

設函數f（x）＝＋ax－lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a＝1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≥2時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ），無極大值;（Ⅱ）當時，單調遞減 ，當時，單調遞減，在上單調遞增；（Ⅲ）．

試題分析：（Ⅰ）當時，求函數的極值,只需對函數求導,求出導數等零點,及在零點兩邊的單調性,注意, 求函數的極值不要忽略求函數的定義域;（Ⅱ）討論函數的單調性,只需判斷的導數在區間上的符號,因此,此題先求導,在判斷符號時,發現參數的取值對有影響,需對參數討論,分,與兩種情況,從而確定單調區間;（Ⅲ）對任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，只需求出的最大值即可.
試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為，當時， 令，當時，；當時，，單調遞減，在單調遞增，，無極大值 ；
（Ⅱ）
，，①當即時，上是減函數，②當，即時，令，得,令，得
綜上，當時，單調遞減 ，當時，單調遞減，在上單調遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，上單調遞減，當時，有最大值，當時，有最小值，， ，
而經整理得 ．