Question

設(shè)函數(shù)F(x )=x²+aln(x+1)
(I)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(II)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁,x₂且，求證:.

Answer 1

（Ⅰ）； (II)見(jiàn)解析.

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，讓，在[1,+∞）上是恒成立的，求解可得a的取值范圍；(II)令，依題意方程在區(qū)間有兩個(gè)不等的實(shí)根，記，則有，得，然后找的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)單調(diào)性，可得結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）在區(qū)間上恒成立，
即區(qū)間上恒成立，       1分
.      3分
經(jīng)檢驗(yàn)， 當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以滿足題意的a的取值范圍為.      4分
（Ⅱ）函數(shù)的定義域，，依題意方程在區(qū)間有兩個(gè)不等的實(shí)根，記，則有，得.       6分
法一：，，，
，令，    8分
，，,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020956701940.png" style="vertical-align:middle;" />，存在，使得，

	-	0	+

，，，所以函數(shù)在為減函數(shù)，   10分
即        12分
法二:6分段后面還有如下證法，可以參照酌情給分.
【證法2】為方程的解，所以,
∵，，，∴,
先證，即證（）,
在區(qū)間內(nèi)，，內(nèi)，所以為極小值，,
即，∴成立；       8分
再證，即證,
,
令，       10分
,
,
，，,
∴，在為增函數(shù)．
 
．
綜上可得成立．         12分