Question

已知函數f（x）=3+log₂^x，x∈[1，16]，若函數g（x）=[f（x）]²+2f（x²）．
（1）求函數g（x）的定義域；
（2）求函數g（x）的最值．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）要使函數g（x）的解析式有意義，則

x∈[1，16] x2∈[1，16]

，解得函數g（x）的定義域；
（2）令t=log₂x，x∈[1，4]，則t∈[0，2]，y=g（x）=（t+5）²-10，結合二次函數的圖象和性質可得函數g（x）的最值．

解答： 解：（1）要使函數g（x）的解析式有意義，
則

x∈[1，16] x2∈[1，16]

，
解得x∈[1，4]，
故函數g（x）的定義域為[1，4]，
（2）令t=log₂x，x∈[1，4]，
則t∈[0，2]，
y=g（x）=[f（x）]²+2f（x²）=（3+log₂x）²+2（3+log₂x²）=（log₂x+5）²-10=（t+5）²-10，
由函數y=（t+5）²-10的圖象是開口朝上且以直線t=-5為對稱軸的拋物線，
故函數y=（t+5）²-10在[0，2]上單調遞增，
故當t=0時，y=g（x）取最小值15，
當t=2，y=g（x）取最大值39，

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，函數的最值，難度中檔．