Question

12．若函數f（x）的圖象上存在不同的兩點，使得此函數的圖象在這兩點處的切線相互垂直，則稱函數f（x）具有T性質，下列函數中具有T性質的是（　　）

• A． f（x）=x³-x²+x
• B． f（x）=-2x+sinx
• C． f（x）=e^x-e^-x
• D． f（x）=1+xlnx

Answer 1

分析 若函數y=f（x）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數y=f（x）的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為-1，進而可得答案．

解答 解：函數y=f（x）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，
則函數y=f（x）的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為-1，
當f（x）=x³-x²+x時，f′（x）=3x²-2x+1≥$\frac{2}{3}$，不滿足條件；
當f（x）=-2x+sinx時，f′（x）=-2+cosx＜0恒成立，不滿足條件；
當f（x）=e^x-e^-x時，f′（x）=e^x+e^-x≥2，不滿足條件；
當f（x）=1+xlnx時，f′（x）=1+lnx∈R，滿足條件．
故選：D．

點評 本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點切線方程，轉化思想，難度中檔．