Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，，分別是，的中點.

(1)求證：；

(2)設為線段上的動點，若線段長的最小值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理，得到平面，進而可推出結論成立；

（2）為線段上的動點，連接，，根據題意得到，由（1）得，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式，即可得出結果.

(1)∵四邊形為菱形，，

∴為正三角形.

又為的中點，∴.

∵，∴.

∵平面，平面，

∴.

∵平面，平面，且，

∴平面，

又平面，∴；

(2)如圖，為線段上的動點，連接，.

當線段的長最小時，.

由(1)知，∵，

∴平面.

∵平面，∴.

在中，，，，

∴，

在中，由，，可知，即.

∴在中，可得.

由(1)可知，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由，分別是，的中點，可得，，，，，，，

所以，.

設平面的法向量為，

則，因此，

取，得.

因為，，，

所以平面，

故為平面的一個法向量.

又，

所以.

由圖易知二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.