Question

已知函數(shù)，（）
（1）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)且時(shí)，令，()，()為曲線y=上的兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由。

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。
（3）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上

解析試題分析：解：（Ⅰ），若存在極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根。所以，              2分
解得               3分
(Ⅱ)               4分
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；       5分
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。
7分
（Ⅲ） 當(dāng)且時(shí)，假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上。則且。     8分
不妨設(shè)。故，則。，該方程有解          9分
當(dāng)時(shí)，則，代入方程得即，而此方程無實(shí)數(shù)解；              10分
當(dāng)時(shí)，則；         11分
當(dāng)時(shí)，則，代入方程得即，               12分
設(shè)，則在上恒成立。在上單調(diào)遞增，從而，則值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c9/b/glguq1.png" style="vertical-align:middle;" />。
當(dāng)時(shí)，方程有解，即方程有解。     13分
綜上所述，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上。           14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題。