Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC⊥BD，且相交于點O，E是AB邊的中點，EO的延長線交CD于F．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）若∠ABD=30°，求證S_△ODF：S_△ODC=1：4．

Answer 1

考點：相似三角形的性質

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）先證明△AOB≌△DOC，從而得出∠ODC=∠OAB，進而可以證明結論；
（2）先證明△DOC∽△DFO，利用面積比等于相似比的平方比即可證明．

解答： 證明：（1）∵△AOB為直角三角形，且E 為AB邊的中點，∴EA=EB，∴∠EAO=∠EOA，∠EOB=∠EBO，
又△AOB≌△DOC，∴∠ODC=∠OAB，
∠EOB=∠DOF（對頂角），∴∠ODC+∠DOF=90°
∴∠DFO=90°
∴EF⊥CD
（2）∵∠ABD=30°∴∠EOB=∠DOF=30°，
∴在Rt△DOF中，DF=

1

2

OD，△DOC∽△DFO，
∴根據面積比等于相似比的平方比，知S_△ODF：S_△ODC=1：4

點評：本小題主要考查相似三角形的性質，考查三角形全等證明，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．