Question

（本小題滿分13分）
如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn),點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求雙曲線的方程；
（2）過上一點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值.

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）求雙曲線的方程就是要確定a的值，用a,c表示條件：軸，∥，即可得：直線OB方程為，直線BF的方程為，解得又直線OA的方程為，則又因?yàn)锳BOB，所以，解得，故雙曲線C的方程為（2）本題證明實(shí)質(zhì)為計(jì)算的值.分別用坐標(biāo)表示直線與AF的交點(diǎn)及直線與直線的交點(diǎn)為，并利用化簡.：.
試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/75/f/yfci13.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
直線OB方程為，直線BF的方程為，解得
又直線OA的方程為，則
又因?yàn)锳BOB，所以，解得，故雙曲線C的方程為
（2）由（1）知，則直線的方程為，即
因?yàn)橹本�AF的方程為，所以直線與AF的交點(diǎn)
直線與直線的交點(diǎn)為
則
因?yàn)槭荂上一點(diǎn)，則，代入上式得
，所求定值為
考點(diǎn)：雙曲線方程，直線的交點(diǎn)