Question

偶函數f（x）滿足f（1-x）=f（l+x），且在x∈[0，1]時，f(x)=

2x-x2

，若直線kx-y+k=0（k＞0）與函數f（x）的圖象有且僅有三個交點，則k的取值范圈是（　　）

• A．（

  15

  15

  ，

  3

  3

  ）
• B．（

  3

  5

  ，

  5

  3

  ）
• C．（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• D．（

  1

  15

  ，

  1

  3

  ）

Answer 1

分析：由f（1-x）=f（l+x），得到函數關于x=1對稱，利用函數是偶函數，得到函數的周期，然后利用函數圖象確定k的取值范圍．

解答：解：由f（1-x）=f（l+x），得到函數關于x=1對稱，
因為f（x）是偶函數，所以f（1-x）=f（l+x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
所以函數的周期是2．由f(x)=

2x-x2

，得（x-1）²+y²=1，（y≥0），
作出函數f（x）和直線y=k（x+1）的圖象，
要使直線kx-y+k=0（k＞0）與函數f（x）的圖象有且僅有三個交點，則由圖象可知：

15

15

＜k＜

3

3

．
故選A．

點評：本題主要考查根的存在性及根的個數的判斷，利用條件確定函數的周期性和對稱性是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決此類問題的基本方法．