Question

若（1-2^x）⁹展開式中第3項是288，則

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的第3項，列出方程求出x；利用等比數列的前n項和公式化簡極限，求出極限值．

解答：解：展開式的第3項為T₃=C₉²（-2^x）²=288
解得x=

3

2

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)
=

lim

n→∞

1- 1 xn

x-1

=

1

x-1

=2
故答案為：2

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題；考查等比數列的前n項和公式、考查常見特殊函數的極限值．