Question

△ABC滿足

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，設M是△ABC內的一點，規定：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MAC，△MAB的面積，若f(M)=(x，y，

1

2

)，則

1

x

+

4

y

的最小值為

18

．

Answer 1

分析：由向量的數量積公式得 |

AB

|  •|

AC

| •cos∠BAC=2

3

，∴|

AB

||

AC

|=4，由題意得，x+y=1-

1

2

=

1

2

.

1

x

+

4

y

=2（5+

y

x

+

4x

y

≥2(5+2

y x • 4x y

)=18，即可得答案．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
所以由向量的數量積公式得 |

AB

|  •|

AC

| •cos∠BAC=2

3

，
∴|

AB

||

AC

|=4，
∵S△ABC=

1

2

|

AB

| •|

AC

|•sin∠BAC=1，
由題意得，
x+y=1-

1

2

=

1

2

．

1

x

+

4

y

=2(

1

x

+

4

y

)(x+y)=2（5+

y

x

+

4x

y

≥2(5+2

y x • 4x y

)=18，等號在x=

1

6

，y=

1

3

取到，所以最小值為18．
故答案為：18．

點評：本題考查基本不等式的應用和向量的數量積，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用，屬于中檔題．