Question

△ABC滿足

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，設M是△ABC內的一點（不在邊界上），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，

1

2

），則xy的最大值為（　　）

• A．

  1

  8

• B．

  1

  9

• C．

  1

  16

• D．

  1

  18

Answer 1

分析：由向量的數量積公式，求出|

AB

|•|

AC

|=4，由題意得，x+y=

1

2

．然后通過基本不等式求出xy的最大值，即可得答案．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
所以由向量的數量積公式得|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

，
∴|

AB

|•|

AC

|=4，
∵S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin∠BAC=1．
由題意得，
x+y=1-

1

2

=

1

2

．
所以xy=

xy

4× 1 4

=

xy

4×(x+y)2

=

1

4( x y + y x +2)

≤

1

16

，
當且僅當x=y=

1

4

時，xy取得最大值

1

16

．
故選C．

點評：本題考查基本不等式的應用和向量的數量積的應用，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．