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△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，設M是△ABC內的一點（不在邊界上），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
x
+
4
y
的最小值為（　　）
A、9B、8C、18D、16
分析：由向量的數量積公式得|
AB
|  •|
AC
| •cos∠BAC=2
3
，∴|
AB
||
AC
|=4，由題意得，x+y=1-
1
2
=
1
2
.
1
x
+
4
y
=2（5+
y
x
+
4x
y
≥2(5+2
y
x
•
4x
y
)=18，即可得答案．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，
所以由向量的數量積公式得|
AB
|  •|
AC
| •cos∠BAC=2
3
，
∴|
AB
||
AC
|=4，
∵S△ABC=
1
2
|
AB
| •|
AC
|•sin∠BAC=1，
由題意得，
x+y=1-
1
2
=
1
2
．
1
x
+
4
y
=2(
1
x
+
4
y
)(x+y)=2（5+
y
x
+
4x
y
≥2(5+2
y
x
•
4x
y
)=18，等號在x=
1
6
，y=
1
3
取到，所以最小值為18．
故選C．
點評：本題考查基本不等式的應用和余弦定理，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于△ABC內的任何一點M，為了確定M的具體位置f（M），采用如下記法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，現有△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
且∠A=30°，設M是△ABC內的一點（不在邊界上），當f(M)=(x，y，
1
2
)，那么
1
x
+
4
y
的最小值為
18
18
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖（一）等腰三角形ABC滿足AB=AC=10，BC=12，D、E、F為AB、BC、AC的中點，現將△ADF、△BDE、△CEF分別沿DF、DE、EF折起使得A、B、C重合為一點P，形成一個三棱錐P-DEF如圖（二），則三棱錐P-DEF的體積為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，設M是△ABC內的一點（不在邊界上），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則xy的最大值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，△ABC滿足
AB
=(-
3
sinθ，sinθ)，
AC
=(cosθ，sinθ)，
（Ⅰ）若BC邊長等于1，求θ的值（只需寫出（0，2π）內的θ值）；
（Ⅱ）若θ恰好等于內角A，求此時內角A的大小．

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同步練習冊答案
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