Question

平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足

AB

=(-

3

sinθ，sinθ)，

AC

=(cosθ，sinθ)，
（Ⅰ）若BC邊長(zhǎng)等于1，求θ的值（只需寫(xiě)出（0，2π）內(nèi)的θ值）；
（Ⅱ）若θ恰好等于內(nèi)角A，求此時(shí)內(nèi)角A的大小．

Answer 1

分析：（I）結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)可求|BC|，結(jié)合已知即可求解滿足條件的θ
（II）由向量的夾角公式cosA=

AB • AC

| AB |•| AC |

，代入即可求解A

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

BC

=(cosθ+

3

sinθ，0)，所以|

BC

|=|2sin(θ+

π

6

)|，-------（2分）
若BC邊長(zhǎng)等于1，則sin(θ+

π

6

)=±

1

2

，在（0，2π）內(nèi)θ=

2π

3

或π或

5π

3

----（5分）
由于

AB

與

AC

不共線，所以θ=

2π

3

或

5π

3

．----------------------------（7分）
（Ⅱ）cosA=

AB • AC

| AB |•| AC |

=

- 3 sinAcosA+sin2A

2sinA

=

- 3 cosA+sinA

2

，--（10分）
所以(2+

3

)cosA=sinA，tanA=2+

3

---------------------------（12分）
所以A=

5π

12

．-----------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．