Question

8．己知函數f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{e^x}（{a≠0}）$，h（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）設a=1，且g（x）=$\frac{1}{2}[{f（x）+h（x）}]-\frac{1}{2}\left|{f（x）}\right.-h（x）\left|{-c{x^2}}$，已知函數g（x）在（0，+∞）上是增函數．
（1）研究函數φ（x）=f（x）-h（x）在（0，+∞）上零點的個數；
（ii）求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，由函數的解析式對其求導，對a進行分2類討論，①當a＞0時，②當a＜0時，分別分析導函數的符號，綜合即可得答案；
（Ⅱ）（1）根據題意，將a=1代入φ（x）的解析式，求導對x進行分類討論，分析可得ϕ（x）在（0，+∞）上單調遞減，結合零點判定定理即可得答案；
（ii）由（1）的結論，當x∈（0，x₀）時，ϕ（x）＞0，當x∈（x₀，+∞）時，ϕ（x）＜0．分析x＞0時函數的解析式，并求導，分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，∵$f（x）=\frac{{a{x^2}}}{e^x}（a≠0）$，
∴$f'（x）=a（2x{e^{-x}}-{x^2}{e^{-x}}）=ax（2-x）{e^{-x}}=\frac{ax（2-x）}{e^x}$，
①當a＞0時，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，f'（x）＜0，
在x∈（0，2）時，f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是減函數，在（0，2）上是增函數；
②當a＜0時，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，f'（x）＞0，
在x∈（0，2）時，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是增函數，在（0，2）上是減函數；
（Ⅱ）（1）當a=1時，函數ϕ（x）=f（x）-h（x）=$\frac{x^2}{e^x}-（x-\frac{1}{x}）$，
求導，得$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$，
當x≥2時，ϕ'（x）＜0恒成立，
當0＜x＜2時，$x（2-x）≤{[\frac{x+（2-x）}{2}]^2}=1$，
∴$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$$≤\frac{1}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}＜1-1-\frac{1}{x^2}＜0$，
∴ϕ'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故ϕ（x）在（0，+∞）上單調遞減．
又$ϕ（1）=\frac{1}{e}＞0$，$ϕ（2）=\frac{4}{e^2}-\frac{3}{2}＜0$，
曲線ϕ（x）=f（x）-h（x）在[1，2]上連續不間斷，
∴由函數的零點存在性定理及其單調性知，?唯一的x₀∈（1，2），使ϕ（x₀）=0，
所以，函數ϕ（x）=f（x）-h（x）在（0，+∞）上零點的個數為1．
（ii）由（1）知，當x∈（0，x₀）時，ϕ（x）＞0，當x∈（x₀，+∞）時，ϕ（x）＜0．
∴當x＞0時，$g（x）=\frac{1}{2}[f（x）+h（x）]-\frac{1}{2}|f（x）-h（x）|-c{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{x}-c{x^2}，0＜x≤{x_0}\\ \frac{x^2}{e^x}-c{x^2}，x＞{x_0}\end{array}\right.$
求導，得$g'（x）=\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1}{x^2}-2cx，\;0＜x≤{x_0}\\ \frac{x（2-x）}{e^x}-2cx，\;x＞{x_0}.\end{array}\right.$
由函數g（x）在（0，+∞）上是增函數，且曲線y=g（x）在（0，+∞）上連續不斷知：g'（x）≥0在（0，x₀]，（x₀，+∞）上恒成立．
①當x∈（x₀，+∞）時，$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-2cx≥0在（x₀，+∞）上恒成立，
即$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立，
記$u（x）=\frac{2-x}{e^x}$，x＞x₀，則$u'（x）=\frac{x-3}{e^x}$，x＞x₀，
當 x變化時，u'（x），u（x）變化情況列表如下：

x	（x0，3）	3	（3，+∞）
u'（x）	-	0	+
u（x）	↓	極小值	↑

∴u（x）_min=u（x）_極小值=u（3）=$-\frac{1}{e^3}$，
故“$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）_min=$-\frac{1}{e^3}$，即$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$．
②當x∈（0，x₀]時，g'（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2cx，
當c≤0時，g'（x）＞0在x∈（0，x₀]上恒成立，
綜合①②知，當$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$時，函數g（x）在（0，+∞）上是增函數．
故實數c的取值范圍是$（-∞，\;-\frac{1}{{2{e^3}}}]$．

點評 本題考查函數導數的應用，涉及導數與函數的單調性的關系，關鍵是正確求出函數的導數．