Question

【題目】已知函數（），是自然對數的底數．

（1）當時，求的單調增區間；

（2）若對任意的，（），求的最大值；

（3）若的極大值為，求不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求出并整理為，結合即可求得函數的單調增區間.

（2）對的取值分類，當時，經檢驗，不合題意；當時，即可利用（1）求得的增減性，并求得時，最小值為，可將轉化為，不妨設，則，利用導數即可求得最大值為，問題得解。

（3）當時，無極大值，當時，由的極大值為可求得，設，對范圍分類，利用可得：當時，，結合即可得解。

（1）的定義域為．

因為，

令，因為，得， 因為，

所以的單調增區間是．

（2）當時，，不合題意；當時，令，得或，

所以在區間和上單調遞減． 因為，且在區間上單調遞增，

所以在處取極小值，即最小值為．若，，則，即．

不妨設，則．

設（），則．當時，；當時，，

所以在上單調遞增；在上單調遞減，所以，即，

所以的最大值為．

（3）由（2）知，當時，無極大值，

當時，在和上單調遞增；在上單調遞減，

所以在處取極大值，所以，即．

設，即，

當，，所以；

當，，

由（2）知，，又，所以，且不恒為零，

所以在上單調遞增．不等式，即為，所以，

即不等式的解集為．