Question

已知棱長為1的正方體ABCDA₁B₁C₁D₁中, P,Q是面對角線A₁C₁上的兩個不同動點.
①存在P,Q兩點,使BPDQ;
②存在P,Q兩點,使BP,DQ與直線B₁C都成45⁰的角;
③若|PQ|=1,則四面體BDPQ的體積一定是定值;
④若|PQ|=1,則四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.
以上命題為真命題的個數是(  )

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C

試題分析：①存在P,Q兩點,使BPDQ是正確的，因為當P為,Q為時BPDQ；②存在P,Q兩點,使BP,DQ與直線B₁C都成45⁰的角是錯誤的，因為BP與直線B₁C所成的角最小角為；③若|PQ|=1,則四面體BDPQ的體積一定是定值是正確的，設與的交點為，則平面，平面將四面體BDPQ分成兩個棱錐，高的和為，故體積不變；④若|PQ|=1, ,則四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值是正確的，當P,Q在面對角線A₁C₁上移動時，在各個面上的正投影的面積不變，故它的正投影的面積的和為定值．