Question

如圖：設一正方形ABCD邊長為2分米，切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，剩余為一個正方形和四個全等的等腰三角形，沿虛線折起，使A、B、C、D四點重合，記為A點．恰好能做成一個正四棱錐（粘貼損耗不計），圖中AH⊥PQ，O為正四棱錐底面中心．
（Ⅰ）若正四棱錐的棱長都相等，求這個正四棱錐的體積V；
（Ⅱ）設等腰三角形APQ的底角為x，試把正四棱錐的側面積S表示為x的函數，并求S的范圍．

Answer 1

解：（I）若正四棱錐的棱長都相等，則在正方形ABCD中，三角形APQ為等邊三角形，設邊長為a，
∵正方形ABCD邊長為2分米，∴AH=a==，解得a==-
∴正四棱錐的棱長a=-
∴PO=a，AO==a，
∴V=×a²×AO=a³=×（-）³=4-
（II）∵AH=PQ×tanx===-PQ
∴PQ=，AH=
∴S=4××PQ×AH
=2×PQ×AH
=2××
= x∈[，）
∵S===≤=2 （當且僅當tanx=1即x=時取等號）
而tanx＞0，故s＞0
∴S的范圍為（0，2]
分析：（I）若正四棱錐的棱長都相等，則在正方形ABCD中，三角形APQ為等邊三角形，由此先計算出此正四棱錐的棱長，再利用正棱錐的性質計算其體積即可；
（II）先利用等腰三角形APQ的底角為x的特點，將側棱長和底邊長分別表示為x的函數，再利用棱錐的體積計算公式將棱錐體積表示為關于x的函數，最后可利用均值定理求函數的值域
點評：本題主要考查了正四棱錐的幾何性質，正四棱錐中的棱長、高、體積的計算，建立函數模型并求其最值的方法，有一定的難度