Question

如圖，Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形ADEF，它的兩條邊AD，AF分別在直角邊AB，AC上．設(shè)BC=a，∠ABC=θ．
（1）求△ABC的面積P和正方形的面積Q；
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求

P

Q

的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出正方形的變成為x，由BC=a，∠ABC=θ，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出直角邊AB和AC，即可求出直角三角形ABC的面積；在直角三角形BDE中，由DE=x，∠ABC=θ，根據(jù)銳角三角形函數(shù)定義表示出BD，根據(jù)BD+AD=AB列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，分子分母同時(shí)乘以tanθ，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)后，得到正方形的邊長(zhǎng)，平方即可得到正方形的面積；
（2）將第一問(wèn)表示出的P和Q代入

P

Q

，約分化簡(jiǎn)后，根據(jù)θ的范圍，得到tanθ的范圍，設(shè)tanθ=t，進(jìn)而得到t的范圍，設(shè)化簡(jiǎn)后的式子為g（t），由t大于0，利用基本不等式求出t+

1

t

的最小值及取最小值時(shí)t的值，即可得到g（t）的最小值，即為所求式子的最小值．

解答：解：（1）設(shè)正方邊的邊長(zhǎng)為x，
則有AD=DE=x，BD=xcotθ，AB=acosθ，AC=asinθ，
∴xcotθ+x=acosθ，x=

acosθ

1+cotθ

=

acosθtanθ

(1+cotθ)tanθ

=

asinθ

tanθ+1

，
則P=

1

2

AB•AC=

1

2

a2cosθsinθ，（2分）Q=

a2sin2θ

(tanθ+1)2

；（6分）

（2）

P

Q

=

1 2 a2cosθsinθ

a2sin2θ (tanθ+1)2

=

(tanθ+1)2

2tanθ

=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)+1，（9分）
設(shè)t=tanθ，∵0＜θ＜

π

2

，∴t∈（0，+∞），
令g(t)=

1

2

(t+

1

t

)+1(t＞0)，
∵t+

1

t

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

t

，即t=1時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)t=1，即θ=

π

4

時(shí)，g（t）有最小值，且最小值為2，（11分）
則

P

Q

最小值為2．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及基本不等式，第一問(wèn)的思路是：設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)，利用銳角三角形函數(shù)定義，建立三角形的邊角關(guān)系，列出關(guān)于x的方程，求出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而表示出P和Q；第二問(wèn)思路為：把表示出的P和Q代入所求式子中，變形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．