Question

（2012•許昌縣一模）如圖，四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ASCD．設AB=2．
（I）證明：AB⊥平面VAD；
（II）若E是VA上的動點，當面DCE⊥面VAB時，求三棱錐V-ECD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知中平面VAD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，我們根據正方形的性質及面面垂直的性質定理，得到AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，說明平面VAD⊥平面ECD．當E是VA的中點時，證明面DCE⊥面VAB，利用三棱錐V-ECD的體積等于三棱錐C-EVD的體積，求解即可．

解答：（Ⅰ）證明：平面VAD⊥平面ABCD，底面是正方形，∴AB⊥AD，
AB?平面ABCD，
平面VAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面VAD．4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，
∴CD⊥平面VAD．
∴平面VAD⊥平面ECD．
又∵△VAD是正三角形，
∴當E是VA的中點時，ED⊥VA．
∴VA⊥平面EDC．
∴面DCE⊥面VAB
三棱錐V-ECD的體積等于三棱錐C-EVD的體積，
VC-VED=

1

3

•S△VED•DC=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．12分

點評：本題考查直線與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查計算能力，轉化思想．