Question

如圖，BC是東西方向長為2km的公路，現考慮在點C的正北  方向的點A處建一倉庫，設AC=xkm，并在AB上選擇一點F，在△ABC內建造邊長為ykm的正方形中轉站EFGH，其中邊HG在公路BC上，且AE=AC．
（1）求y關于x的函數解析式；
（2）求正方形中轉站EFGH面積的最大值及此時x的值．

Answer 1

分析：（1）延長FE，交AC于D，顯然DF∥BC，則Rt△ADF∽Rt△ACB，利用AE=AC=x，求得DE，于是可得方程，然后解方程即可，
（2）由第（1）得y關于x的函數解析式，變形后利用基本不等式得當x=

2

x

時，即可求出正方形中轉站EFGH面積的最大值的最大值．

解答：解：（1）如圖，延長FE，交AC于D，
∵DF∥BC，
∴Rt△ADF∽Rt△ACB，
∴AE=AC=X，知：DE=

x2-(x-y)2

=

2xy-y2

，
∴

x-y

x

=

2xy-y2 +y

2

⇒2x-2y-xy=x

2xy-y2

，
兩邊平方，并整理得（x²+2x+2）y²-（x³+2x²+4x）y+2x²=0，
解得：y=

2x

x2+2x+2

（另一解y=x舍去）．
答：y關于x的函數解析式為y=

2x

x2+2x+2

．

（2）由第（1）題得y=

2x

x2+2x+2

=

2

x+ 2 x +2

≤

2

2 2 +2

當x=

2

x

，即x=

2

時，y有最大值=

2

2 2 +2

=

2

-1，
∴當x=

2

時，正方形中轉站EFGH面積的最大值最大值為（

2

-1）²=3-2

2

．

點評：此題涉及到相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質，正方形的性質等多個知識點，有一定的拔高難度．