Question

12．已知函數f（x）=$\frac{mx}{{{x^2}+n}}$（m，n∈R）在x=1處取得極值2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=ax-lnx，若對任意的${x_1}∈[\frac{1}{2}，2]$，總存在唯一的x₂∈[$\frac{1}{e^2}$，e]（e為自然對數的底數）使得g（x₂）=f（x₁），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，利用函數的極值求出m，n，得到函數的解析式．
（2）化簡導函數，求出函數的f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$的值域為$[\frac{8}{5}，2]$，求出$g'（x）=a-\frac{1}{x}$，記$M=[\frac{1}{e^2}，e]$通，過①當$a≤\frac{1}{e}$時，②當$\frac{1}{e}＜a＜{e^2}$時，③當a≥e²時，利用的最值以及函數的單調性，推出a的取值范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{m（{x^2}+n）-2m{x^2}}}{{{{（{x^2}+n）}^2}}}=\frac{{-m（{x^2}-n）}}{{{{（{x^2}+n）}^2}}}$．
∵f（x）在x=1處取得極值2，∴$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=0}\\{f（1）=2}\end{array}}\right.$的，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=1}\end{array}}\right.$．
故$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}$．
（2）由（1）知$f'（x）=\frac{-4（x-1）（x+1）}{{{{（{x^2}+n）}^2}}}$，
故f（x）在$（\frac{1}{2}，1）$上單調遞增，（1，2）上單調遞減．又$f（1）=2，f（2）=f（\frac{1}{2}）=\frac{8}{5}$，
故f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$的值域為$[\frac{8}{5}，2]$，
依題意$g'（x）=a-\frac{1}{x}$，記$M=[\frac{1}{e^2}，e]$，∵x∈M，∴$\frac{1}{e}≤\frac{1}{x}≤{e^2}$．
①當$a≤\frac{1}{e}$時，$g'（x）=a-\frac{1}{x}≤0$，g（x）在M上單調遞減，
依題意得：$\left\{{\begin{array}{l}{g（e）≤\frac{8}{5}}\\{g（\frac{1}{e^2}）≥2}\end{array}}\right.$，得$0≤a≤\frac{1}{e}$；
②當$\frac{1}{e}＜a＜{e^2}$時，$\frac{1}{e^2}＜\frac{1}{a}＜e$．g（x）在$（\frac{1}{e^2}，\frac{1}{a}）$單調遞減，在$（\frac{1}{a}，e）$單調遞增，由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e^2}）＜\frac{8}{5}}\\{g（e）≥2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e^2}）≥2}\\{g（e）＜\frac{8}{5}}\end{array}}\right.$，解之得$\frac{1}{e}＜a＜\frac{13}{5e}$，
③當a≥e²時，$g'（x）=a-\frac{1}{x}＞0$，g（x）在M上單調遞增，
依題意得：$\left\{{\begin{array}{l}{g（e）≥2}\\{g（\frac{1}{e^2}）≤\frac{8}{5}}\end{array}}\right.$，得a∈φ．
綜上，所求a的取值范圍為$[0，\frac{13}{5e}）$．

點評 本題考查分類討論思想以及轉化思想的應用，函數的導數的應用，考查構造法求解函數的導數以及函數的極值，考查分析問題解決問題的能力．