Question

17．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且1，a_n，S_n是等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n，設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由2a_n=1+S_n，當n=1時，a₁=1，當n≥2時，2a_n-2a_n-1=a_n，a_n=2a_n-1，數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由${c_n}={a_n}•{b_n}=（n-1）•{2^{n-1}}$，采用“錯位相減法”即可求得數列{c_n}的前n項和為T_n．

解答 解：（1）由1，a_n，S_n是等差數列知：2a_n=1+S_n…①，
當n=1時，2a₁=1+a₁，則a₁=1；…（2分）
當n≥2時，2a_n-1=1+S_n-1…②，
①-②得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1；…（4分）
故數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
數列{a_n}的通項公式：${a_n}={2^{n-1}}$； …6分
（2）由b_n=log₂a_n=n-1，${c_n}={a_n}•{b_n}=（n-1）•{2^{n-1}}$，…（8分）
${T_n}=0+1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+（n-1）•{2^{n-1}}$，…③
∴$2{T_n}=0+1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+（n-1）•{2^n}$，…④
③-④得$-{T_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{n-1}}-（n-1）•{2^n}$，
=$\frac{{2-{2^n}}}{1-2}-（n-1）•{2^n}$，
=（2-n）•2ⁿ-2，
∴${T_n}=（n-2）•{2^n}+2$，
數列{c_n}的前n項和為：${T_n}=（n-2）•{2^n}+2$．…（12分）

點評 本題考查等比數列通項公式，“錯位相減法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．