Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）在R上單調遞減，則a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{3}{4}$，1）
• B． （0，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 根據分段函數是在R上單調遞減，可得0＜a＜1，故而二次函數在（$-∞，-\frac{b}{2a}）$單調遞減，可得$-\frac{b}{2a}≥0$．且[x²+（4a-3）x+3a]_min≥[log_a（x+1）+1]_max即可得a的取值范圍．

解答 解：由題意，分段函數是在R上單調遞減，可得對數的底數需滿足0＜a＜1，
根據二次函數開口向上，在（$-∞，-\frac{b}{2a}）$單調遞減，可得$-\frac{b}{2a}≥0$，即$-\frac{4a-3}{2}≥0$，解得：$a≤\frac{3}{4}$．
且[x²+（4a-3）x+3a]_min≥[log_a（x+1）+1]_max
故而得：3a≥1，解得：a$≥\frac{1}{3}$．
∴a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
故選：C．

點評 本題考查了分段函數的單調性的運用求解參數問題，屬于基礎題．