Question

已知F₁，F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，O是坐標原點，過F₂作垂直于x軸的直線MF₂交橢圓于M(

2

，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F₁的斜率為1直線l與橢圓C交于A、B兩點，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）由橢圓過定點可知c，把定點坐標代入橢圓方程，和a²=b²+c²聯立后求解a²，b²的值，則答案可求；
（2）寫出直線方程，和橢圓方程聯立后求出兩個焦點的坐標，利用兩點間的距離公式求距離．

解答：解：（1）由題意可知：c=

2

．
又M(

2

，1)在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴

2

a2

+

1

b2

=1．
聯立

2 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2 c= 2

，解得

a2=4 b2=1

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）由（1）知，左焦點F1(-

2

，0)．
則過左焦點F₁的斜率為1直線l的方程為y=x+

2

．
聯立

y=x+ 2 x2 4 + y2 2 =1

，得

x1=0 y1= 2

，

x2=- 4 3 2 y2=- 2 3

．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(- 4 2 3 )2+( 2 + 2 3 )2

=

8

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了利用兩點間的距離公式求距離，是中檔題．