Question

2．某校從高二年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實數a的值；
（2）若該校高二年級共有學生640人，試估計該校高二年級期中考試數學成績不低于40分的人數；
（3）若從樣本中隨機選取數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的兩名學生，求這兩名學生的數學成績之差的絕對值大于10的概率．

Answer 1

分析 （1）根據頻率和為1，列出方程求出a的值；
（2）根據頻率分布直方圖，計算成績不低于60分的頻率與頻數即可；
（3）計算成績在[50，60）和[90，100]內的人數，利用列舉法求出基本事件數，計算對應的概率值．

解答 解：（1）由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，
所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1； …（2分）
解得a=0.03；   …（3分）
（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為
1-10×（0.05+0.01）=0.85，…（4分）
由于該校高二年級共有學生640人，利用樣本估計總體的思想，
可估計該校高二年級數學成績不低于60分的人數約為
640×0.85=544（人）；  …（6分）
（如果沒有：“利用樣本估計總體的思想，可估計”則扣1分）
（3）成績在[50，60）分數段內的人數為
40×0.05=2（人），…（7分）
成績在[90，100]分數段內的人數為
40×0.1=4（人），…（8分）
若從這6名學生中隨機抽取2人，則總的取法有
$C_6^2=15$；…（9分）
如果兩名學生的數學成績都在[40，50）分數段內或都在[90，100]分數段內，
那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10；
如果一個成績在[40，50）分數段內，另一個成績在[90，100]分數段內，
那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定大于10；…（10分）
則所取兩名學生的數學成績之差的絕對值大于10分的取法數為
 $C_2^1•C_4^1=8$；…（11分）
故所求概率為
$P（M）=\frac{8}{15}$．       …（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖以及用列舉法求古典概型的概率問題，是綜合性題目．