Question

3、已知函數f（x）在區間[a，b]上單調，且f（a）f（b）＜0，則方程f（x）=0在區間[a，b]內（　　）

A、至少有一實根

B、至多有一實根

C、沒有實根

D、必有唯一的實根

Answer 1

分析：由函數的單調性，我們易得函數的圖象與直線y=a至多有一個交點，再根據零點存在定理，我們易得到函數f（x）在區間[a，b]上有且只有一個零點，再根據函數零點與對應方程根的個數關系，我們即可得到結論．

解答：解：∵f（a）f（b）＜0
∴函數在區間[a，b]上至少有一個零點
又∵函數f（x）在區間[a，b]上單調
∴函數f（x）在區間[a，b]上至多有一個零點
故函數f（x）在區間[a，b]上有且只有一個零點
即方程f（x）=0在區間[a，b]內必有唯一的實根
故選D

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中利用函數零點個數與對應方程根的個數相等，將問題轉化一個求函數零點個數問題是解答本題的關鍵．