Question

（2013•昌平區一模）已知函數f（x）=（2

3

sinx-2cosx）•cosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[

π

4

，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2x-

π

6

），再根據三角函數的周期性求得f（x）的最小正周期．
（II）由 x∈[

π

4

，

π

2

]，可得 2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，再由正弦函數的定義域和值域求得函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）因為函數f（x）=（2

3

sinx-2cosx）•cosx+1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．…（5分）
所以，f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．…（7分）
（II）由 x∈[

π

4

，

π

2

]，可得 2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，…..（9分）
當2x-

π

6

=

5π

6

 時，函數f（x）取得最小值為1，…．（11分）
當2x-

π

6

=

π

2

時，函數f（x）取得最大值為2．…．（13分）

點評：本題主要考查三角恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．