Question

（2013•大興區一模）已知函數f（x）=

x-a

(x-1)2

，x∈（1，+∞）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）函數f（x）在區間[2，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數f′（x），令f'（x）=0，得x₁=1，或x₂=2a-1．由x＞1，分2a-1≤1，2a-1＞1兩種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函數的單調區間；
（Ⅱ）分情況進行討論：a≤1時，由（Ⅰ）知f（x）在[2，+∞）上單調遞減，無最小值；當a＞1時，再按2a-1≤2，2a-1＞2討論，結合其圖象及函數單調性可得函數最小值情況；

解答：解：（I）f′(x)=

(x-1)(-x+2a-1)

(x-1)4

，x∈（1，+∞）．
由f'（x）=0，得x₁=1，或x₂=2a-1．
①當2a-1≤1，即a≤1時，在（1，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
②當2a-1＞1，即a＞1時，在（1，2a-1）上，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，在（2a-1，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
綜上所述：a≤1時，f（x）的減區間為（1，+∞）； a＞1時，f（x）的增區間為（1，2a-1），f（x）的減區間為（2a-1，+∞）．
（II）（1）當a≤1時，
由（I）知f（x）在[2，+∞）上單調遞減，不存在最小值；
（2）當a＞1時，
若2a-1≤2，即a≤

3

2

時，f（x）在[2，+∞）上單調遞減，不存在最小值；
若2a-1＞2，即a＞

3

2

時，f（x）在[2，2a-1）上單調遞增，在（2a-1，+∞）上單調遞減，
因為f(2a-1)=

a-1

(2a-2)2

＞0，且當x＞2a-1時，x-a＞a-1＞0，所以x≥2a-1時，f（x）＞0．
又因為f（2）=2-a，所以當2-a≤0，即a≥2時，f（x）有最小值2-a；2-a＞0，即

3

2

＜a＜2時，f（x）沒有最小值．
綜上所述：當a≥2時，f（x）有最小值2-a；當a＜2時，f（x）沒有最小值．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數在閉區間上的最值，考查分類討論思想，考查學生運用知識解決問題的能力．