Question

（2012•天河區三模）已知函數f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin²（

3π

2

-x）-1
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[

π

4

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角三角函數公式和輔助角公式化簡，得到f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．再由三角函數的周期公式和單調區間公式，即可得到f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（II）求出當x∈[

π

4

，

3π

4

]時，2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，結合正弦函數的圖象與性質，即可得到函數f（x）在上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得
f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin²（

3π

2

-x）-1
=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．…..（3分）
可得f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…..（5分）
又∵由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z
∴函數f（x）的單調遞增區間：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．
由

π

4

≤x≤

3π

4

，得

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

．…..（8分）
∴當2x+

π

4

=

3π

4

，即x=

π

4

時，函數f（x）有最大值是1；…..（10分）
當2x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

8

時，函數f（x）有最小值是-

2

．…..（11分）
綜上所述，函數f（x）在區間[

π

4

，

3π

4

]上的最大值是1，最小值是-

2

．…..（12分）

點評：本題給出三角函數表達式，求函數的周期與單調區間，并求閉區間上的最值．著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．