Question

若一個底面邊長為

6

2

，棱長為

6

的正六棱柱的所有頂點都在一個球的面上，則此球的體積為．

• A、72

  2

  π
• B、32

  3

  π
• C、9

  2

  π
• D、4

  3

  π

Answer 1

分析：由已知中一個底面邊長為

6

2

，棱長為

6

的正六棱柱的所有頂點都在一個球的面上，我們易求出棱柱底面截球所得的截面圓半徑r，及球心到底面的距離，即球心距d，根據球半徑、截面圓半徑，球心距構造直角三角形，滿足勾股定理，求出球半徑，即可得到球的體積．

解答：解：由已知中中正六棱柱的底面邊長為

6

2

，棱長為

6

則六棱柱底面截球所得的截面圓半徑r=

6

2

球心到底面的距離，即球心距d=

6

2

根據球半徑、截面圓半徑，球心距構造直角三角形，滿足勾股定理，
我們可得，六棱柱的外接球半徑R=

3

∴六棱柱的外接球體積V=

4

3

πR3=4

3

π
故選D

點評：本題考查的知識點是球內接多面體及球的體積和表面積，其中根據已知條件計算出球的半徑是解答本題的關鍵．其中把六棱柱鑲嵌到球體里面中，要注意半徑、棱柱的高、及棱柱底面邊長的關系．