Question

（2010•臺州二模）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-9x在x=3處取得極大值0．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若過點P（-1，m）可作曲線y=f（x）的切線有三條，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（x）=3ax²+2bx-9，知

f′(3)=27a+6b-9=0 f(3)=27a+9b-27=0

⇒

a=-1 b=6

，由此能求出f_max（x）．
（Ⅱ）設(shè)過P點的切線切曲線于點（x₀，y₀），則切線的斜率k=-3x₀²+12x₀-9，所以切線方程為y=（-3x₀²+12x₀-9）（x+1）+mw，故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀．由此能求出滿足條件的m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+2bx-9，
且在x=3處取得極大值0．
∴

f′(3)=27a+6b-9=0 f(3)=27a+9b-27=0

⇒

a=-1 b=6

∴f′（x）=-3x²+12x-9=-3（x-1）（x-3）
當x∈[0，1]時，f′（x）≤0，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減．
∴f_max（x）=f（0）=0．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)過P點的切線切曲線于點（x₀，y₀），則切線的斜率k=-3x₀²+12x₀-9
所以切線方程為y=（-3x₀²+12x₀-9）（x+1）+mw
故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀…（9分）
要使過P可作曲線y=f（x）的切線有三條，
則方程（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀有三解∴m=2x_°³-3x_°²-12x_°+9，令g（x）=2x³-3x²-12x+9
則g′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2）…（12分）
易知x=-1，2為g（x）的極值大、極小值點，又g（x）_極小=-11，g（x）_極大=16，
故滿足條件的m的取值范圍-11＜m＜16．…（15分）

點評：本題考查f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值和求實數(shù)m的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．