Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

2

2

．
（1）橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，A是橢圓上的一點，且點A到此兩焦點的距離之和為4，求橢圓的方程；
（2）求b為何值時，過圓x²+y²=t²上一點M（2，

2

）處的切線交橢圓于Q₁、Q₂兩點，且OQ₁⊥OQ₂．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 2a=4

，由此能求出橢圓的方程．
（2）過圓x²+y²=t²上一點M（2，

2

）處切線方程為2x+

2

y-6=0，令Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），則

2x+ 2 y-6=0 x2+2y2=2b2

，化為5x²-24x+36-2b²=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出b的值．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

2

2

，
橢圓上的一點A到兩焦點的距離之和為4，
∴

e= c a = 2 2 2a=4

，
解得a=2，b=

2

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）過圓x²+y²=t²上一點M（2，

2

）處切線方程為2x+

2

y-6=0，
令Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
則

2x+ 2 y-6=0 x2+2y2=2b2

，
化為5x²-24x+36-2b²=0，
由△＞0，得b＞

3 10

5

，
x1+x2=

24

5

，x1x2=

36-2b2

5

，
y₁y₂=2x₁x₂-6（x₁+x₂）+18=

18-4b2

5

，
由OQ₁⊥OQ₂，知x₁x₂+y₁y₂=0，
解得b²=9，
即b=±3，∵b＞

3 10

5

，
∴b=3．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．