Question

    已知函數，記數列{a_n}的前n項和為S_n，且有a₁=f(1),當n≥2時，.

    (1)計算a₁，a₂，a₃，a₄;

    (2)求出數列{a_n}的通項公式，并給予證明.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)由已知，當n≥2時，,     ∵，     ∴,     即.     又a1=f(1)=2,     由,     得a2=3; 由,     解得a3=4; 由,解得a4=5.     (2)則a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想：an=n+1(n∈N).     以下用數學歸納法證明：     (a)當n=1時命題成立.     (b)設n=k時，ak=k+1(k∈N). 由,     ,         =     =     =2k+4.     ak+1=(k+1)+1,     即當n=k+1時命題也成立.     故由(a)、(b)知對一切n∈N均有an=n+1.