Question

已知函數f（x）=log₃（ax+b）的圖象經過點A（2，1）和B（5，2），記a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

an

2n

，T_n=b₁+b₂+…b_n，若T_n＜m（m∈Z），求m的最小值；
（3）求使不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥p

2n+1

對一切n∈N^*，均成立的最大實數p．

Answer 1

分析：（1）先由函數f（x）=log₃（ax+b）的圖象經過點A（2，1）和B（5，2），求出a，b，進而求得函數f（x）的解析式，即可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）用錯位相減法求出T_n的表達式即可求出對應的m的最小值；
（3）先把原不等式轉化為p≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)對n∈N*恒成立，再利用函數的單調性求不等式右邊的最小值即可求出最大實數p．

解答：解：（1）由題意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得

a=2 b=-1

，（2分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N*（4分）
（2）由（1）得bn=

2n-1

2n

，∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

++

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①

1

2

Tn= 

1

22

+

3

23

++

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②①-②得

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

21

+(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，（7分）
設f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*，則由

f(n+1)

f(n)

=

2n+5 2n+1

2n+3 2n

=

2n+5

2(2n+3)

=

1

2

+

1

2n+3

≤

1

2

+

1

5

＜1
得f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*隨n的增大而減小，T_n隨n的增大而增大．∴當n→+∞時，T_n→3
又T_n＜m（m∈Z）恒成立，∴m_min=3（10分）
（3）由題意得p≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)對n∈N*恒成立
記F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)，則

F(n+1)

F(n)

=

1 2n+3 (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )(1+ 1 an )(1+ 1 an+1 )

1 2n+1 (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )(1+ 1 an )

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1（12分）∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是隨n的增大而增大F（n）的最小值為F(1)=

2

3

3

，∴p≤

2

3

3

，即pmax=

2

3

3

（14分）

點評：本題的第二問考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．