Question

已知函數f（x）=a•b^x的圖象過點A（2，

1

2

），B（3，1），若記a_n=log₂f（n）（n∈N^*），S_n是數列{a_n}的前n項和，則S_n的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先利用待定系數法求函數f（x）解析式，發現數列{a_n}是一個等差數列，后再利用等差數列的前n項和S_n的特點求其最小值．

解答：解：將A、B兩點坐標代入f（x）得

1 2 =ab2 1=ab

，解得

a= 1 8 b=2

，
∴f（x）=

1

8

•2^x，
∴f（n）=

1

8

•2ⁿ=2^n-3，
∴a_n=log₂f（n）=n-3．
令a_n≤0，即n-3≤0，n≤3．
∴數列前3項小于或等于零，故S₃或S₂最小．
S₃=a₁+a₂+a₃=-2+（-1）+0=-3．
答案：-3

點評：研究數列的前n項和最值常見思維途徑是：由于數列是特殊的函數，故可以類比函數中求最值的方法，比如比較法、配方法、單調性法等，但要注意使得取最值時的n必須是正整數．