Question

17．若使集合A={x|（kx-k²-6）（x-4）＞0，x∈Z}中的元素個數最少，則實數k的取值范圍是[-3，-2]．

Answer 1

分析 化簡集合A，對k討論即可．求解x的范圍，可得答案．

解答 解：集合A={x|（kx-k²-6）（x-4）＞0，x∈Z}，
∵方程（kx-k²-6）（x-4）=0，
解得：${x}_{1}=k+\frac{6}{k}$，x₂=4，
∴（kx-k²-6）（x-4）＞0，x∈Z
當k=0時，A=（-∞，4）；
當k＞0時，4＜k+$\frac{6}{k}$，A=（-∞，4）∪（k+$\frac{6}{k}$，+∞）；
當k＜0時，k+$\frac{6}{k}$＜4，A=（k+$\frac{6}{k}$，4）．
∴當k≥0時，集合A的元素的個數無限；
當k＜0時，k+$\frac{6}{k}$＜4，A=（k+$\frac{6}{k}$，4）．集合A的元素的個數有限，
令函數g（k）=k+$\frac{6}{k}$，（k＜0）
則有：g（k）≤-2$\sqrt{6}$，
∵題意要求x∈Z，
故得：k+$\frac{6}{k}$≥-5，且k+$\frac{6}{k}$＜-4，
解得：-3≤k≤-2
故答案為：[-3，-2]．

點評 本題考查的是集合元素的分布以及運算問題，方程的思想以及問題轉化的思想在題目當中的應用．此題屬于集運算與方程、不等式于一體的綜合問題，值得同學們認真反思和歸納．