Question

已知直線x+y+m=0與圓x²+y²=4交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，

|OA

+

OB

|≥|

AB

|，則實數m的取值范圍是（　　）

A．[-2，2]	B．[2，2 2 )∪(-2 2 ，-2]
C．(-2 2 ，-2]	D．[2，2 2 )

Answer 1

∵直線x+y+m=0與圓x²+y²=4交于不同的兩點A，B，
故AB為圓的一條弦，且圓心O（0，0），半徑r=2，
設線段AB的中點為C，根據向量加法的平行四邊形法則，可得

OA

+

OB

=2

OC

，
∴

|OA

+

OB

|≥|

AB

|，即為2|

OC

|≥|

AB

|，即|

OC

|≥

1

2

|

AB

|=AC，
根據圓中弦的性質，則△OAC為直角三角形，
∴在Rt△OAC中，OA=r=2，OC≥AC，
∴

2

≤OC＜2，
∵OC為點O到直線x+y+m=0的距離，
故OC=

|0+0+m|

12+12

=

|m|

2

，
∴

2

≤

|m|

2

＜2，即

|m|＜2 2 |m|≥2

，解得m∈（-2

2

，-2]∪[2，2

2

），
∴實數m的取值范圍是（-2

2

，-2]∪[2，2

2

）．
故選：B．